arteЭлектронный научно-исследовательский журнал Сибирского государственного института искусств имени Дмитрия Хворостовского "ARTE"ARTE2687-1106СГИИ имени Д. Хворостовскогоarte-430Research ArticleАКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МУЗЫКОЗНАНИЯCURRENT ISSUES OF MUSICOLOGYПринцип самоподобия и особенности его воплощения в музыкальной композиции с фракталамиThe principle of self-similarity and the features of it’s implementation in a musical composition with fractalsЕрмакЕ. А.YermakY. A.

Ермак Елена Александровна, магистрант, фортепианный и композиторско­музыковедческий факультет

220013, Минск

Yelena A. Yermak, Master’s student, Piano, Composition and Musicology Faculty

220013, Minsk

lenaermak355@gmail.comТихомироваА. А.TikhomirovaA. A.

Тихомирова Алла Анатольевна, кандидат искусствоведения, доцент, доцент кафедры теории музыки

220013, Минск

Alla A. Tikhomirova, Cand. Sc. (Art Criticism), Associate Professor, Associate Professor of Department of Music Theory

220013, Minsk

alla-tikhomirova@bk.ruБелорусская государственная академии музыкиБеларусьBelarusian State Academy of MusicBelarus202531102025035465Copyright © Ермак Е.А., Тихомирова А.А., 20252025Ермак Е.А., Тихомирова А.А.Yermak Y.A., Tikhomirova A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.sgiiart.ru/jour/article/view/430

Научно­исследовательская проблематика статьи связана с изучением фракталов как одного из видов математических структур и их индивидуального «композиторского прочтения» в музыке. Представлен обзор научно­исследовательских источников, посвящённых изучению фракталов в различных видах искусства и литературе. Более подробно речь идёт о научной литературе, в которой закономерности фрактальных структур рассматриваются в проекции на музыкальное искусство, предложена собственная их классификация. В центре внимания авторов – принцип самоподобия, наиболее ярко раскрывающий закономерности проявления фракталов в камерно­инструментальных сочинениях композиторов XX–XXI вв. – Д. Лигети, П. Нёргора, Д. Корманна, А. Кея. В процессе реализации принципа самоподобия акцентируется роль повтора в музыке (точного или варьированного), что проявляется в различных параметрах организации музыкального материала: звуковысотность, техника композиции, принципы развития и формообразование. Методология исследования основывается на научных трудах, в которых речь идёт о воплощении фракталов в художественном произведении (А. Духно, Е. Николаева, Ю. Кирбаба, Ю. Дмитрюкова и др.), техниках композиции в музыке XX–XXI вв. (С. Курбатская, Т. Франтова т др.), особенностях формообразования и драматургии (В. Холопова, В. Задерацкий и др.).

The research problems of the article are related to the study of fractals as one of the types of mathematical structures and their individual “composer reading” in music. The article provides an overview of scientific research sources devoted to the study of fractals in various forms of art and literature. In more detail, we are talking about the scientific literature, in which the patterns of fractal structures are considered in the projection on musical art, a proprietary classification of fractals in music is proposed. The author focuses on the principle of self–similarity, which most vividly reveals the patterns of fractals in chamber­instrumental compositions by composers of the XX–XXI centuries – D. Ligeti, P. Nergor, Cormann, A. Key. In the process of implementing the principle of self­similarity, the role of repetition in music (accurate or varied) is emphasized, which is manifested in various parameters of the organization of musical material: pitch, composition technique, principles of development and shaping. The research methodology is based on scientific works dealing with the embodiment of fractals in a work of art. A. Dukhno, Ye. Nikolaeva, Yu. Kirbaba, Yu. Dmitryukova), composition techniques in music of the XX–XXI centuries (S. Kurbatskaya, T. Frantova), features of shaping and dramaturgy (V. Kholopova, V. Zaderatsky).

наука и искусствофракталыитеративность и самоподобие музыкеповтор точный и изменённыйсерийная техникарепетитивная техникаформообразованиеscience and artfractalsiterativityself­similarity in musicprecise and modified repetitionserial techniquerepetition techniqueprinciples of shapingReferencesАкопян Л. Эволюция и метаморфозы традиционных музыкально­теоретических категорий в новой музыке. Форма // Музыка последнего столетия: теория и история. Ч. 1, Гл. 5. 25.11.2024. URL: https://hakobian-mlc.sias.ru/content/part1/chapter5/#link-5.5.5. (дата обращения: 22.05.2025).Akopyan, L. (2024), “Evolution and metamorphoses of traditional musical­theoretical categories in new music. Form”, Muzy`ka poslednego stoletiya: teoriya i istoriya. Ch.1, Gl. 5 [Music of the last century: theory and history. Part 1, Ch. 5], Available at: https://hakobian-mlc.sias.ru/content/part1/chapter5/#link-5.5.5 (Accessed 22 May 2025). (In Russ.)Бонч-­Осмоловская Т.Б. Фракталы в литературе. URL: https://www.ashtray.ru/main/texts/experlit/fractallit2.htm (дата обращения: 15.01.2025).Bonch­Osmolovskaya, T.B. “Fractals in literature”, Available at: https://www.ashtray.ru/main/texts/experlit/fractallit2.htm (Accessed 15 January 2025). (In Russ.)Веберн А. Лекции о музыке. Письма. М.: Музыка, 1975. 143 с.Vebern, A. (1975), Lekcii o muzy`ke. Pis`ma [Lectures on music. Letters], Muzy`ka, Moscow, 143 p. (In Russ.)Волошинов А.В. Математика и искусство. Изд. 2­е. М.: «Просвещение», 2000. 399 с.Voloshinov, A.V. (2000), Matematika i iskusstvo [Maths and Art], Izd. 2­e, Prosveshhenie, Moscow, 399 p. (In Russ.)Гончаренко С.С. Фракталы в музыке Клода Дебюсси // Вестник Кемеровского государственного института культуры. 2011. № 17. С. 80–87.Goncharenko, S.S. (2011), “Fractals in the music of Claude Debussy”, Vestnik Kemerovskogo gosudarstvennogo instituta kul`tury` [Vestnik of the Kemerovo State Institute of Culture], No. 17, pp. 80–87. (In Russ.)Гундорина А.А. Графическая нотация в ракурсе фрактальности // Музыкальное образование в контексте культуры: вопросы теории, истории и методологии: сб. ст. М.: Пробел–2000, 2017. С. 61–76.Gundorina, A.A. (2017), “Graphical notation in the perspective of fractality”, Muzykal`noe obrazovanie v kontekste kul`tury`: voprosy` teorii, istorii i metodologii [Music Education in the Context of Culture: Issues of Theory, History and Methodology]: sb. st. Moscow, pp. 61–76. (In Russ.)Дмитрюкова Ю.Г. Фракталы в современной композиции: конспект доклада. URL: https://www.mmv.ru/p/link/fractal_report.html (дата обращения: 30.09.2023).Dmitryukova, Yu.G. Fraktaly` v sovremennoj kompozicii: konspekt doklada [Fractals in contemporary composition: report outline], Available at: https://www.mmv.ru/p/link/fractal_report.html (Accessed 30 September 2023). (In Russ.)Духно А.Б. Фрактал как язык искусства. Взаимовлияние научного и художественного опыта // Художественная культура. 2018. № 3 (25). С. 38–61.Duxno A.B. (2018), “Fractal as a language of art. Interaction of scientific and artistic experience”, Xudozhestvennaya kultura [Art culture], No. 3 (25), pp. 38–61. (In Russ.)Ермак Е.А. Фракталы в музыкальной композиции: к вопросу классификации // Музыкальная культура в теоретическом и прикладном измерении: сб. науч. ст. Кемерово: КемГик, 2025. Вып. 13. С. 5–12.Ermak, E.A. (2025), “Fractals in musical composition: on the issue of classification”, Muzy`kal`naya kul`tura v teoreticheskom i prikladnom izmerenii [Musical culture in theoretical and applied dimensions]: sb. nauch. st. Kemerovo, KemGik, Vy`p. 13, pp. 5–12. (In Russ.)Задерацкий В.В. Музыкальная форма: в 2 вып. М.: Музыка, 2008. Вып. 2. 528 с.Zaderaczkij, V.V. (2008), Muzy`kal`naya forma: v 2 vyp. [Musical form], Muzy`ka, Moscow, Vyp. 2, 528 p. (in Russ.)Иванов-­Ракиевский В.А. В результате процесса: изменение морфологиии синтаксиса в творчестве Тристана Мюрая // Музыкальная академия. 2023. № 1. С. 142–157.Ivanov­Rakievskij, V.A. (2023), “As a result of the process: a change in morphology and syntax in the work of Tristan Murail”, Muzy`kal`naya akademiya [Music Academy], No. 1, pp. 142–157. (In Russ.)Кирбаба Ю.В. Генезис синергетической парадигмы: культурологические аспекты: автореф. дис. … кандидата культурологии: 24.00.01. Саратов, 2004. 20 с.Kirbaba, Yu.V. (2004), Genezis sinergeticheskoj paradigmy`: kul`turologicheskie aspekty`[The genesis of the synergetic paradigm: cultural aspects]: avtoref. dis. … kandidata kul`turologii: 24.00.01, Saratov, 20 p. (In Russ.)Лаврова С.В. Трансформация структурного мышления музыкального постсериализма в контексте открытий современной науки // Вестник академии русского балета А.И. Вагановой. 2014. № 3(32). С. 184–191.Lavrova, S.V. (2014), “Transformation of structural thinking of musical post­serialism in the context of discoveries of modern science”, Vestnik akademii russkogo baleta A.I. Vaganovoj [Vestnik of the A.I. Vaganova Academy of Russian Ballet], No. 3 (32), pp. 184–191. (In Russ.)Микиша А.М., Орлов В.Б. Толковый математический словарь: основные термины. М.: Русский язык, 1989. 244 с.Mikisha, A.M., Orlovm V.B. (1989), Tolkovyj matematicheskij slovar’: osnovnye terminy [Explanatory mathematical dictionary: basic terms], Russkij yazyk, Moscow, 244 p. (In Russ.)Молчанов А.С. Смысловая роль повтора в музыке // Вестник Московского государственного университета культуры и искусств. 2008. № 5. С. 284–286.Molchanov, A.S. (2008), “The semantic role of repetition in music”, Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta kul’tury i iskusstv [Vestnik of the Moscow State University of Culture and Arts], No. 5, pp. 284–286. (In Russ.).Окунева Е.Г. Симфоническое творчество Пера Нёргора: траектория развития жанра // Научный вестник Московской консерватории. 2023. Т. 14 (4). С. 646–673.Okuneva, E.G. (2023), “Symphonic creativity of Per Nergor: the trajectory of the genre development”, Nauchny`j vestnik Moskovskoj konservatorii [Scientific Vestnik of the Moscow Conservatory], T. 14 (4), pp. 646–673. (In Russ.)Плотникова О.М. Фрактальная геометрия Сонаты № 10 А.Н. Скрябина // Проблемы музыкальной науки / Music Scholarship. 2019. № 1. С. 15–21.Plotnikova, O.M. “Fractal Geometry of Sonata No. 10 A.N. Scriabin”, Available at: https://journalpmn.ru/index.php/PMN/article/view/1008 (Accessed: 06 November 2023). (In Russ.)Теория современной композиции: уч. пособие. Отв. ред. В.С. Ценова. М.: Музыка, 2007. 616 с.Teoriya sovremennoj kompozicii: uch. posobie [Theory of modern composition] (2007), Otv. red. V.S. Cenova, Muzy`ka, Moscow, 616 p. (In Russ.)Философия: энциклопедический словарь. URL: http://philosophy.niv.ru/doc/dictionary/encyclopedic/articles/1142/sinergetika.html (дата обращения: 20.05.2025).Filosofiya: e`nciklopedicheskij slovar` [Philosophy: Encyclopedic Dictionary], Available at: http://philosophy.niv.ru/doc/dictionary/encyclopedic/articles/1142/sinergetika.html (Accessed 20 May 2025). (In Russ.)Цареградская Т.В. Тристан Мюрай. «Озеро» (Le Lac) для ансамбля (2001): аналитический этюд // Международный журнал исследований культуры. 2017. № 3 (28). С. 52–64.Czaregradskaya, T.V. (2017), “Tristan Muray. “The Lake” (Le Lac) for an ensemble (2001): an analytical study”, Mezhdunarodny`j zhurnal issledovanij kul`tury`[International Journal of Cultural Studies], No. 3 (28), pp. 52–64. (In Russ.)Hansen B., Shakiban Ch.Exploring fractal geometry in music. URL: https://archive.bridgesmathart.org/2002/bridges2002-83.pdf (дата обращения: 14.11.2023).Hansen, B., Shakiban, Ch. “Exploring fractal geometry in music”, Available at: https://archive.bridgesmathart.org/2002/bridges2002-83.pdf (Accessed 14 November 2023). (In Eng.)Key J.A. Fractal music № 1 Iterations. 2019. URL: https://www.jordanalexanderkey.com/_fies/ugd/b9cb66_07f2d252cb504edb9ba68c49d242080a.pdf (дата обращения: 14.01.2025).Key, J. A. (2019), Fractal music № 1 Iterations, Available at: https://www.jordanalexanderkey.com/_fies/ugd/b9cb66_07f2d252cb504edb9ba68c49d242080a.pdf (Accessed: 14 January 2025). (In Eng.)Key J.A. Orchestral large ensemble works. 2019. URL: https://www.jordanalexanderkey.com/orchestral­-large-­ensemble­-works (дата обращения 07.05.2025).Key, J. A. (2019), Orchestral large ensemble, Available at: https://www.jordanalexanderkey.com/orchestral-­large-ensemble­-works (Accessed: 07 May 2025). (In Eng.)Kormann D. Fractal music. 2010. URL: https://plus.maths.org/content/os/issue55/features/kormann/index (дата обращения: 29.05.2025).Kormann, D. (2010), “Fractal music”, Available at: https://plus.maths.org/content/os/issue55/features/kormann/index (Accessed 29 May 2025). (In Eng.)Ligeti G. Etudes pour piano. SCHOTT, 1986. 141 p.Ligeti, G. (1986), Etudes pour piano, SCHOTT, 141 p. (In Eng.)Satory S. An Interview with György Ligeti in Hamburg. // Canadian University Music Review / Revue de musique des universités canadiennes. 1990. Vol. 10. No. 1. Pp. 101–117. URL: at: https://www.erudit.org/en/journals/cumr/1990-v10-n1-cumr0505/1014897ar.pdf (дата обращения: 26.01.2025).Satory, S. “An Interview with György Ligeti in Hamburg”, Canadian University Music Review, Revue de musique des universités canadiennes, Vol. 10, No. 1, pp. 101–117, Available at: https://www.erudit.org/en/journals/cumr/1990-v10-n1-cumr0505/1014897ar.pdf (Accessed 26 January 2025). (In Eng.)Steinitz R. György Ligeti: Music of the Imagination. Faber & Faber, 2013. 429 p.Steinitz, R. (2013), György Ligeti: Music of the Imagination, Faber & Faber, 429 p. (In Eng.)Wen Ya. Analysis of Ligeti’s piano etude “Columna Infinita”. URL: https://www.parlando.hu/2022/2022-3/Wen-Ligeti.pdf (дата обращения: 09.02.2025).Wen, Ya. “Analysis of Ligeti’s piano etude ““Columna Infinita””, Available at: https://www.parlando.hu/2022/2022-3/Wen-Ligeti.pdf (Accessed 09 February 2025). (In Eng.)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.